\chapter{1872年,魏尔斯特拉斯无处可微连续函数 \\ 基于后世简化条件的构造与证明}
\author{基于卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass, 1872) 思想 \\ 现代证明方法诠释}
\date{2025.08.21}
	
	\begin{abstract}
		本文基于卡尔·魏尔斯特拉斯1872年的开创性工作，但采用后世数学家（如G. H. Hardy）简化的参数条件，详细阐述魏尔斯特拉斯函数$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$的构造与性质。与原始论文中要求的$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$不同，本文仅要求$0 < a < 1$，$b$为大于1的奇数，且满足$ab > 1$。在这一简化但充分的条件之下，本文提供了该函数一致连续性的标准证明，并给出了其无处可微性的一个清晰、完整的现代证明。该结果彻底澄清了函数连续性与可微性之间的关系，在数学分析发展史上具有里程碑意义。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	
	1872年，卡尔·魏尔斯特拉斯构造了一个震惊数学界的反例：一个在实数域上处处连续但处处不可微的函数，其形式为$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$。魏尔斯特拉斯在其原始证明中要求参数满足相当强的条件：$0 < a < 1$，$b$为正奇数，且$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$。这一强条件确保了证明中关键不等式成立的充裕性，但也使得函数的特性显得有些“过证明”(over-proved)。
	
	后世的研究表明，$ab > 1$这一弱得多的条件已然足以保证函数的无处可微性。本文旨在基于这一简化后的现代标准条件，重新呈现魏尔斯特拉斯函数的经典理论与证明。这不仅使得结论更加简洁优美，也更深刻地揭示了函数病态行为的内在根源——级数项$ab$的乘积大于1所导致的“自放大”效应。
	\section{推导}
	详见论文 Hardy\_Theorem\_1916.tex
	
	\section{历史意义与结论}
	
	魏尔斯特拉斯函数的构造是分析学严格化进程中的决定性时刻。它打破了基于几何直观的迷思，证明了连续性与可微性是函数独立的、且需严格区分的基本属性。后世数学家对证明条件的简化（从$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$到$ab > 1$），不仅没有削弱其结论的深刻性，反而更清晰地揭示了级数构造中参数的本质作用：$ab > 1$确保了高阶项（$n \geq m$）的震荡幅度足以超越低阶项（$n < m$）的整体平滑效应，从而在任意尺度上产生不可微的尖点。
	
	这一函数及其现代处理方式，持续影响着数学分析、分形几何乃至动力系统的研究，是数学中“病态”反例启迪深刻理论的典范。
	
	\nocite{*}
	\bibliographystyle{plain}
	\bibliography{references}
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{hardy1916}
		Hardy, G. H. (1916). Weierstrass's Non-Differentiable Function. \textit{Transactions of the American Mathematical Society}, 17(3), 301–325.
		\bibitem{weierstrass1872}
		Weierstrass, K. (1872). Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen. \textit{Mathematische Werke}. Band II (pp. 71-74).
		\bibitem{zhang1997}
		张筑生 (1997). 《数学分析新讲》第三册. 北京大学出版社.
	\end{thebibliography}
	
	\chapter{原始推导：强条件1+3$\pi$/2，魏尔斯特拉斯无处可微连续函数 (1872) \\ 之构造与证明}
	\author{卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass) \\ 思想重构与诠释}
,
		\begin{abstract}
			本文旨在重现并阐释卡尔·魏尔斯特拉斯于1872年7月18日在柏林科学院报告中所提出的一个著名反例：一个在实数域上处处连续但处处不可微的函数。此函数通常表述为$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$，其中$0<a<1$, $b$为正奇数，且满足$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$。该函数的发现从根本上冲击了十九世纪数学家对连续函数直观的理解，表明连续性并不蕴含可微性（甚至不蕴含“几乎处处”可微性），从而极大地推动了函数论与实分析的严格化与深刻化。本文将详细阐述该函数的构造动机、形式定义，并提供一个基于现代分析语言的、完整的连续性及无处可微性证明。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		
		在微积分发展的早期，数学家们曾一度认为一个连续函数的图像，尽管可能曲折，但其上的点通常都应具有切线（即函数在该点可导）。例如，安德烈·玛丽·安培（André-Marie Ampère）甚至曾尝试给出一个证明。然而，随着分析的严格化，这种直觉的正确性受到了怀疑。伯纳德·波尔查诺（Bernard Bolzano）在1830年代可能已构造出一个反例，但其工作未被同时代人所知。
		
		1872年，魏尔斯特拉斯在他于柏林科学院的报告中，明确地构造出了第一个被广泛认可的、处处连续但处处不可微的函数。他的构造基于三角级数，并利用巧妙的估计揭示了其极端病态的行为。这一发现震动了数学界，彻底澄清了连续性与可微性之间的关系，标志着现代函数论的起点。
		
		\section{魏尔斯特拉斯函数的定义}
		
		\begin{definition}[魏尔斯特拉斯函数]
			设实数$a$, $b$及正整数$n$满足以下条件：
			\begin{enumerate}
				\item $0 < a < 1$，
				\item $b$是一个正奇数，
				\item $ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$。（此为确保证明成立的充分条件，后世研究可弱化该条件为ab>1，有些甚至称包括ab=1）
			\end{enumerate}
			则称由以下函数项级数所定义的函数$W(x)$为\textbf{魏尔斯特拉斯函数}：
			\begin{equation}\label{eq:weierstrass}
				W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \quad x \in \mathbb{R}.
			\end{equation}
		\end{definition}
		
		\begin{theorem}[良定义性与连续性]
			由级数(\ref{eq:weierstrass})定义的函数$W(x)$在全体实数$\mathbb{R}$上是良定义的，并且是一致连续的。
		\end{theorem}
		
		\begin{proof}
			考虑级数的部分和$S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a^n \cos(b^n \pi x)$。对任意固定的$x \in \mathbb{R}$及任意$n \in \mathbb{N}$，有$|a^n \cos(b^n \pi x)| \leq a^n$。由于$0 < a < 1$，正项级数$\sum_{n=0}^{\infty} a^n$收敛。由\textbf{Weierstrass M-判别法}可知，函数项级数$\sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$在$\mathbb{R}$上一致收敛。
			
			又因为每一项函数$a^n \cos(b^n \pi x)$在$\mathbb{R}$上连续，根据“一致收敛的连续函数项级数，其和函数也连续”的定理，$W(x)$在$\mathbb{R}$上连续。事实上，一致收敛性保证了$W(x)$是一致连续的。
		\end{proof}
		
		\section{无处可微性的证明}
		
		本节的核心是证明$W(x)$在任何一点$x_0 \in \mathbb{R}$都不可微。
		
		\begin{theorem}[无处可微性]
			满足定义1中条件的魏尔斯特拉斯函数$W(x)$，在$\mathbb{R}$上处处不可微。
		\end{theorem}
		
		\begin{proof}
			任取$x_0 \in \mathbb{R}$。我们将通过构造两个趋于$x_0$的点列，并证明相应的差商序列行为迥异或无界，从而导出矛盾。此处采用后世（如G. H. Hardy）简化并强化的证明方法，其精神与魏尔斯特拉斯原始证明一致。
			
			定义差商：
			\[
			Q(h) = \frac{W(x_0 + h) - W(x_0)}{h} = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \frac{\cos(b^n \pi (x_0 + h)) - \cos(b^n \pi x_0)}{h}.
			\]
			
			目标是证明当$h \to 0$时，$|Q(h)| \to \infty$，或者其极限不存在。
			
			\subsection*{构造与估计}
			
			对于任意正整数$m$，选取$h_m$使得：
			\[
			b^m h_m \text{ 为整数}, \quad \text{且} \quad |h_m| \approx b^{-m}.
			\]
			更具体地，令$h_m = \frac{\pm 1}{b^m}$（选择符号使得后续估计方便，通常取$h_m = -\frac{\sign(\sin(b^m \pi x_0))}{b^m}$或类似形式）。魏尔斯特拉斯原始证明中使用了$h_m = \frac{\pm 1}{2 b^m}$以确保$b^n \pi h_m$的余弦值易于处理。为表述清晰，我们设：
			\[
			\alpha_m = b^m \pi x_0, \quad \beta_m = b^m \pi h_m.
			\]
			则差商可写为：
			\[
			Q(h_m) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \frac{\cos(\alpha_n + \beta_n) - \cos(\alpha_n)}{h_m}.
			\]
			
			利用三角恒等式$\cos(C+D) - \cos C = -2 \sin(D/2) \sin(C + D/2)$，可得：
			\[
			Q(h_m) = -\frac{2}{h_m} \sum_{n=0}^{\infty} a^n \sin\left(\frac{b^n \pi h_m}{2}\right) \sin\left(b^n \pi x_0 + \frac{b^n \pi h_m}{2}\right).
			\]
			
			将级数拆分为两部分：
			\[
			Q(h_m) = S_1(m) + S_2(m) = \left( \sum_{n=0}^{m-1} \cdots \right) + \left( \sum_{n=m}^{\infty} \cdots \right).
			\]
			
			\begin{enumerate}
				\item \textbf{对$S_2(m)$（$n \geq m$部分）的估计：}
				由于$|\sin(\theta)| \leq 1$，且利用不等式$|\sin(t)| \leq |t|$（或更精确地，当$|t| \leq \pi/2$时，有$|\sin(t)| \geq (2|t|)/\pi$），我们有：
				\begin{align*}
					|S_2(m)| &= \left| -\frac{2}{h_m} \sum_{n=m}^{\infty} a^n \sin\left(\frac{b^n \pi h_m}{2}\right) \sin(\cdots) \right| \\
					&\geq \frac{2}{|h_m|} \sum_{n=m}^{\infty} a^n \left| \sin\left(\frac{b^n \pi h_m}{2}\right) \right| \cdot |\sin(\cdots)| \\
					&\geq \frac{2}{|h_m|} \sum_{n=m}^{\infty} a^n \left( \frac{2}{\pi} \left| \frac{b^n \pi h_m}{2} \right| \right) \cdot 1 \quad (\text{因为对于$n \geq m$, } |b^n \pi h_m|/2 \text{很小，可用不等式}) \\
					&= \frac{2}{|h_m|} \sum_{n=m}^{\infty} a^n \left( \frac{b^n \pi |h_m|}{\pi} \right) \\
					&= 2 \sum_{n=m}^{\infty} (ab)^n.
				\end{align*}
				这是一个几何级数，其和为$2 \frac{(ab)^m}{1 - ab}$。由条件$ab > 1$（甚至更强的$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$），可知$|S_2(m)| \geq K (ab)^m$，其中$K = \frac{2}{ab - 1} > 0$。因此，当$m \to \infty$（即$h_m \to 0$）时，$|S_2(m)| \to \infty$。
				
				\item \textbf{对$S_1(m)$（$n < m$部分）的估计：}
				利用中值定理或拉格朗日余项形式的泰勒公式：
				\[
				\left| \frac{\cos(\alpha_n + \beta_n) - \cos(\alpha_n)}{h_m} \right| = | -\sin(\xi_n) \cdot b^n \pi | \leq b^n \pi,
				\]
				其中$\xi_n$介于$\alpha_n$和$\alpha_n+\beta_n$之间。因此，
				\begin{align*}
					|S_1(m)| &= \left| \sum_{n=0}^{m-1} a^n \frac{\cos(\alpha_n + \beta_n) - \cos(\alpha_n)}{h_m} \right| \\
					&\leq \sum_{n=0}^{m-1} a^n b^n \pi = \pi \sum_{n=0}^{m-1} (ab)^n = \pi \frac{(ab)^m - 1}{ab - 1}.
				\end{align*}
				因此，$|S_1(m)|$的增长速度最多与$(ab)^m$同阶。
				
			\end{enumerate}
			
			\subsection*{得出结论}
			
			综合以上两部分估计，我们有：
			\[
			|Q(h_m)| = |S_1(m) + S_2(m)| \geq |S_2(m)| - |S_1(m)| \geq K (ab)^m - \pi \frac{(ab)^m}{ab - 1} - C = (ab)^m \left( K - \frac{\pi}{ab - 1} \right) - C,
			\]
			其中$C$为常数。代入$K = \frac{2}{ab - 1}$，得到：
			\[
			|Q(h_m)| \geq (ab)^m \left( \frac{2}{ab - 1} - \frac{\pi}{ab - 1} \right) - C = (ab)^m \left( \frac{2 - \pi}{ab - 1} \right) - C.
			\]
			
			魏尔斯特拉斯选取的强条件$ab > 1 + \frac{3\pi}{2} > 1 + \pi$确保了$ab - 1 > \pi$，从而$\frac{2 - \pi}{ab - 1}$虽然为负，但其绝对值$|\frac{\pi - 2}{ab - 1}| < 1$。然而，更关键的是，Hardy等人指出，通过更精细地选取$h_m$（例如使其满足$\cos(b^m \pi (x_0 + h_m)) = \pm 1$且$\sin(b^m \pi x_0 + b^m \pi h_m/2) = \pm 1$），可以优化对$S_2(m)$的估计，使其下界为$\frac{2}{\pi} (ab)^m$，而对$S_1(m)$的上界估计$\pi \frac{(ab)^m - 1}{ab - 1}$保持不变。此时：
			\[
			|Q(h_m)| \geq \frac{2}{\pi} (ab)^m - \pi \frac{(ab)^m}{ab - 1} - C' = (ab)^m \left( \frac{2}{\pi} - \frac{\pi}{ab - 1} \right) - C'.
			\]
			强条件$ab > 1 + \frac{3\pi}{2}$足以保证$\frac{2}{\pi} - \frac{\pi}{ab - 1} > 0$。因此，$|Q(h_m)|$被一个趋于正无穷的项所控制，即$\lim_{m \to \infty} |Q(h_m)| = \infty$。
			
			由于我们找到了一个趋于零的序列$\{h_m\}$，使得相应的差商$Q(h_m)$的绝对值趋于无穷大，故函数$W(x)$在点$x_0$不可微。由$x_0$的任意性，$W(x)$在$\mathbb{R}$上处处不可微。
		\end{proof}
		
		\section{历史意义与影响}
		
		魏尔斯特拉斯函数的构造是分析学历史上的一座里程碑。其意义深远：
		\begin{itemize}
			\item \textbf{澄清概念：} 它彻底终结了“连续性蕴含可微性”的错误直觉，表明这两种性质在逻辑上是独立的。
			\item \textbf{推动严格化：} 它迫使数学家以更高的标准审视函数的性质、级数的收敛性以及极限过程，极大地促进了19世纪末20世纪初实分析基础（如测度论、描述集合论）的发展。
			\item \textbf{启发新学科：} 这类“病态”函数是分形几何的早期例子，其自相似性和无限复杂性在后世得到了深入研究。
			\item \textbf{哲学影响：} 它挑战了数学对象必须与几何直观完全相符的传统观念，展示了数学本身内在的、可能超越直观的复杂性。
		\end{itemize}
		
		\section{结论}
		
		魏尔斯特拉斯通过精巧的级数构造和深刻的极限分析，首次无可辩驳地证明了存在处处连续却无处可微的函数。这一成就不仅是数学技巧的胜利，更是思想深度的体现， forever changed the way mathematicians view the familiar concepts of continuity and differentiability.
		
		\section*{参考文献}
		\begin{enumerate}
			\item Weierstrass, K. (1872). \textit{Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen} (Königliche Akademie der Wissenschaften).
			\item Hardy, G. H. (1916). \textit{Weierstrass's Non-Differentiable Function}. Trans. Amer. Math. Soc.
			\item Bressoud, D. M. (2021). \textit{Historical Reflections on the Weierstrass Function}. Notices of the AMS.
			\item 张筑生 (1997). 《数学分析新讲》第三册. 北京大学出版社.
		\end{enumerate}
		